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设函数 $f(x)$连续，$g(x)=\int_0^1 f(x t) d t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ，$A$ 为常数．求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
                        
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