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设随机变量 $X . Y$ 相互独立，且均服从 $(0,1)$ 上的均匀分布．设

$$
U=\max (X, Y), V= \begin{cases}1, & U=X, \\ 0, & U=Y .\end{cases}
$$

（1）求 $U$ 的概率密度函数；
（2）$U$ 与 $V$ 是否相互独立？说明理由；
（3）求 $Z=U+V$ 的分布函数．
                        
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