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设 $u=x+y, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ ，试用新变量 $u, v$ 变换等式

$$
x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\left(x^2+y^2\right) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0 .
$$
（假设所有出现的二阶偏导数都连续）
                        
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