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设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，试证：

$$
\int_0^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \ln \frac{b}{a}(a>0, b>0) .
$$
                        
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