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（厦门大学，2006 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充分必要条件是存在矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的转置矩阵．
                        
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