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设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导数，记 $A=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ ．试证明：

$$
\int_a^b|f(x)-A|^2 \mathrm{~d} x \leqslant \frac{(a-b)^2}{2} \int_a^b\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x
$$
                        
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