数学试题讲解

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设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A^2=A$ ，证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^T A Q=\left(\begin{array}{cc}E_r & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $r$ 为 $A$ 的秩。