设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，在 $(a, b)$ 内可导，则（ ）
A. 当 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 时，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(\xi)=0$
B. $\forall \xi \in(a, b)$ ，有 $\lim _{x \rightarrow \xi}[f(x)-f(\xi)]=0$
C. 当 $f(a)=f(b)$ 时，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$
D. 存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$