已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线过点 $P\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), F$ 为 $C$ 的右焦点，则下列结论正确的是
A. $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$
B. $C$ 的渐近线方程为 $x-\sqrt{2} y=0$
C. 若 $F$ 到 $C$ 的渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
D. 设 $O$ 为坐标原点，若 $|P O|=|P F|$ ，则 $S_{\triangle P O F}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$