己知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1(a>2)$ 的焦点为 $F_1 、 F_2$ ，点 $A(2, \sqrt{3})$ 在椭圆 $C$ 的内部，点 $M$ 在椭圆 $C$ 上，则 ()
A. $a>4$
B. 椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
C. 存在点 $M$ 使得 $M F_1 \perp M F_2$
D. $\left|M F_1\right|^2+\left|M F_2\right|^2>32$