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设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$ ，（1）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+2}}{n}$ 的值；（2）试证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛，其中 $\lambda$ 为正常数．
                        
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