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已知 $y=f(x)$ 具有连续的导数，且 $f(1)=0, g(x)$ 是其反函数．求证：

$$
\int_0^1\left[\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=2 \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x
$$
                        
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