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设函数 $f(x), g(x)$ 均在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=g(0), f(1)=g(1)$ ，求证：存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=g^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\eta)$ ．
                        
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