函数 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}} \sin ^2 t d t$ 在 $[0, \pi]$ 上的最小值和最大值分别为（ ）。
A. $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
B. $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
C. $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}$