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已知 $(1+x)^{2 n+1}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\mathrm{L}+a_{2 n+1} x^{2 n+1}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．记 $T_{n}=\sum_{k=0}^{n}(2 k+1) a_{n-k} \stackrel{r}{!}$ ．
（1）求 $T_{2}$ 的值；
（2）化简 $T_{n}$ 的表达式，并证明：对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 的，$T_{n}$ 都能被 $4 n+2$ 整除．
                        
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