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已知函数 $y=x^2+b x+c$（ $b, c$ 为常数）的图象经过点 $(-2,4)$ ．
（1）求 $b, c$ 满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是 $(m, n)$ ，当 $b$ 的值变化时，求 $n$ 关于 $m$ 的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当 $-5 \leq x \leq 1$ 时，函数的最大值与最小值之差为 16 ，求 $b$ 的值．
                        
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