在 $\triangle A B C$ 中，$B E$ 是边 $A C$ 上的中线，$O$ 是 $B E$ 的中点，若 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{A O}$ 等于（）
A. $\frac{1}{2} \boldsymbol{a}+\frac{1}{2} \boldsymbol{b}$
B. $\frac{1}{2} a+\frac{1}{3} b$
C. $\frac{1}{4} \boldsymbol{a}+\frac{1}{2} \boldsymbol{b}$
D. $\frac{1}{2} \boldsymbol{a}+\frac{1}{4} \boldsymbol{b}$