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已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \sin A+\sqrt{3} \cos A=0, a=2 \sqrt{7}, b=2$ ．
（1）求 $c$ 的值；
（2）设 $D$ 为边 $B C$ 上的一点，且 $A D \perp A C$ ，求 $\triangle A B D$ 的面积．
                        
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