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设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数，$f(0)=1$ ，满足 $\iint_D f^{\prime}(x+y) d x d y=\iint_D f(t) d x d y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant t-x, 0 \leqslant x \leqslant t\},(0 < t \leqslant 1)$ ，求 $f(x)$ 的表达式．
                        
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