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已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，长轴长为 4 ．
（1）求 $C$ 的方程．
（2）过点 $(0,-2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$O$ 为坐标原点．若 $S_{\triangle O A B}=\sqrt{2}$ ，求 $|A B|$【
                        
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