定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $2 f(x)+x f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}, f(1)=0$ ，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$ 在 $x=\sqrt{\mathrm{e}}$ 处取得极大值，极大值为 $\frac{1}{2 \mathrm{e}}$
B. $f(x)$ 有两个零点
C. 若 $f(x) < k-\frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，则 $k>\frac{\mathrm{e}}{2}$
D. $f(1) < f(\sqrt{2}) < f(\sqrt{3})$