已知函数 $f(x)=k x^{2}, g(x)=\ln x$ ，若存在 $x_{i} \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}\right),(i=1,2)$ ，使得 $f\left(x_{i}\right)=g\left(x_{i}\right),(i=1,2)$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）
A. $\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}, \frac{1}{2 \mathrm{e}}\right)$
B. $\left(\frac{1}{2 \mathrm{e}}, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$
C. $\left[\frac{1}{2 \mathrm{e}}, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$
D. $\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}, \frac{1}{2 \mathrm{e}}\right)$