如图，在几何体 $A B C D P Q$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D, Q C / / P A$ ，且 $Q C=\frac{1}{2} P A$ ，四边形 $A B C D$ 为菱形，$P A=A D=2, \angle B A D=120^{\circ}$ ．
（ I ）求证：$B D \perp P Q$ ；
（II）求平面 $B P Q$ 与平面 $D P Q$ 夹角的余弦值．
（ I ）求证：$B D \perp P Q$ ；
（II）求平面 $B P Q$ 与平面 $D P Q$ 夹角的余弦值．