勾股分割点 【新知引入】定义：如图（1），点 $M, N$ 把线段 $A B$ 分割成 $A M, M N$ 和 $B N$ ，若以 $A M, M N, B N$ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点．
（1）已知点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点，若 $A M=3, M N=5$ ，则 $B N=$ $\qquad$。
【探究证明】
（2）如图（2），在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}, M, N$ 在线段 $B C$ 上，且 $\angle M A N=45^{\circ}$ ．求证：点 $M, N$ 是线段 $B C$ 的勾股分割点．
【拓展应用】
（3）如图（3），在 $\odot O$ 中，圆心角 $\angle A O B=90^{\circ}, P$ 是 $\odot O$ 上一动点，连接 $A B, P A, P B$ ，分别作 $P A, P B$ 的垂直平分线，分别交直线 $A B$ 于点 $C, D$ ，已知 $A B=14$ ，当 $\triangle A B P$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形时，请直接写出线段 $C D$ 的长．
（1）已知点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点，若 $A M=3, M N=5$ ，则 $B N=$ $\qquad$。
【探究证明】
（2）如图（2），在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}, M, N$ 在线段 $B C$ 上，且 $\angle M A N=45^{\circ}$ ．求证：点 $M, N$ 是线段 $B C$ 的勾股分割点．
【拓展应用】
（3）如图（3），在 $\odot O$ 中，圆心角 $\angle A O B=90^{\circ}, P$ 是 $\odot O$ 上一动点，连接 $A B, P A, P B$ ，分别作 $P A, P B$ 的垂直平分线，分别交直线 $A B$ 于点 $C, D$ ，已知 $A B=14$ ，当 $\triangle A B P$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形时，请直接写出线段 $C D$ 的长．