日晷仪，简称日晷，是一种通过观测日影来记录时间的古老仪器（如图（1）），在我国古代被广泛使用．小明为了探究日晷的奥秘，在不同时间段对日晷进行了仔细观察．如图（2），日晷的平面是以点 $O$ 为圆心的圆，线段 $A B$ 为日晷的底座，点 $E$ 为日晷与底座的接触点（即 $A B$与 $\odot O$ 的切点），$O C$ 为某一时刻晷针的影长（点 $C$ 恰好落在 $\odot O$ 上），并且此时点 $C, O, A$ 恰好在一条直线上．连接 $O A$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $O B$ 交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $D F, B C$ ．已知 $A E=$ $B E, D F=3 \sqrt{3} dm , \angle A=30^{\circ}$ ．
（1）求证：$B C$ 是 $\odot O$ 的切线．
（2）随着时间的推移，点 $C$ 从图（2）所示的位置开始在圆周上顺时针方向缓缓移动，当点 $C$ 第一次移动至与 $A B$ 的距离为 0.6 dm 时，求出点 $C$ 在这段时间内所经过的路径长．
（参考数据： $\sin 37^{\circ} \approx 0.60, \cos 37^{\circ} \approx 0.80, \tan 37^{\circ} \approx 0.75$ ）
（1）求证：$B C$ 是 $\odot O$ 的切线．
（2）随着时间的推移，点 $C$ 从图（2）所示的位置开始在圆周上顺时针方向缓缓移动，当点 $C$ 第一次移动至与 $A B$ 的距离为 0.6 dm 时，求出点 $C$ 在这段时间内所经过的路径长．
（参考数据： $\sin 37^{\circ} \approx 0.60, \cos 37^{\circ} \approx 0.80, \tan 37^{\circ} \approx 0.75$ ）