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设矩形 $A B C D(A B>B C)$ 的周长为 $12+6 \sqrt{2}$ ，把它沿对角线 $A C$ 对折后，设 $A B$ 交 $D C$ 于点 $P$ ，此时点 $B$ 记作 $B^{\prime}$ ，如图所示，设 $A D=x, D P=y$ ，则 $\triangle A D P$ 的面积的最大值为
                        
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