已知双曲线 C：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$ ，直线 $l$ 过点 $(0,1)$ ，以下正确的是
A. 若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 只有一个公共点，则直线 $l$ 的条数是 2
B. 若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 只有一个公共点，则直线 $l$ 的斜率是 $\frac{1}{2}$ 或 $\pm 2$
C. 若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 有两个不同的公共点，则直线 $l$ 的斜率范围是 $(-2,2)$
D. 若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的渐近线相交于 $A, ~ B$ 两点，则线段 $A B$ 中点的轨迹是直线