数学试题讲解

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(5 + 3 + 2 = 10

分）（1）设

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{2 x y^{3}}{x^{2} + y^{4}}, (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, (x, y) = (0, 0) \end{cases}

，计算方向导数

\frac{\partial f (0, 0)}{\partial \vec{l}}

，其中

\vec{l} = (\cos α, \sin α), α \in [0, 2 π)

为单位向量．
（2）若一个二元函数

g (x, y)

在

(x_{0}, y_{0})

点取到极小值，那么

t = 0

是否一定是

h (t) = g (x_{0} + t \cos α, y_{0} + t \sin α)

的极小值点（其中

α

如（1）中所示），为什么？
（3）若对任意

α \in [0, 2 π), t = 0

是

h (t) = g (x_{0} + t \cos α, y_{0} + t \sin α)

的极小值点，那么

(x_{0}, y_{0})

是否一定是

g (x, y)

的极小值点，为什么？