已知数列 $\left\{a_n\right\}, a_1=1, S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $S_n=\frac{1}{3}(n+2) a_n$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 求证: $\sin a_n-a_n < 0$;
(3) 证明: $\left(1+\sin \frac{1}{a_1}\right)\left(1+\sin \frac{1}{a_2}\right)\left(1+\sin \frac{1}{a_3}\right) \cdots\left(1+\sin \frac{1}{a_n}\right) < \mathrm{e}^2$.