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如图，点 $A, B, E$ 是 $\odot O$ 上的点，$\angle B A O=15^{\circ}, O A \perp O E, O E, A B$交于点 $D$ ．若 $O D=4-2 \sqrt{3}$ ，则 $\overparen{B E}$ 的长为 $\qquad$ ．
                        
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