已知 $f^{\prime}(x)$ 是定义域为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 的奇函数 $f(x)$ 的导函数，当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时，都有 $f(x) \cos x+f^{\prime}(x) \sin x>0$ ， $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ ，则不等式 $f(x)>\frac{1}{\sin x}$ 的解集为（）
A. $\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}\right) \cup\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$
B. $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$
C. $\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}\right) U \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$
D. $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right) \cup\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$