已知可导函数 $f(x)$ 是定义在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的奇函数．当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时， $f(x)+f^{\prime}(x) \tan x>0$ ，则不等式 $\cos x \cdot f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sin x \cdot f(-x)>0$ 的解集为（ ）
A. $\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)$
B. $\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$
C. $\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}\right)$
D. $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$