已知定义在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的函数，$f^{\prime}(x)$ 为其导函数，且 $\frac{f(x)}{\sin x} < \frac{f^{\prime}(x)}{\cos x}$ 恒成立，则
A. $f\left(\frac{\pi}{2}\right)>2 f\left(\frac{\pi}{6}\right)$
B. $\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{4}\right)>\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{3}\right)$
C. $\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{6}\right) < f\left(\frac{\pi}{3}\right)$
D. $f(1) < 2 f\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin 1$