记函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$ ，若 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 时恒有 $f(x) \cos x+f^{\prime}(x) \sin x>0$ 成立，则（ ）
A. $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt{2} f\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
B. $f\left(\frac{\pi}{6}\right)>-\sqrt{3} f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
C. $\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{3}\right)>\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{4}\right)$
D. $\sqrt{2} f\left(-\frac{\pi}{4}\right)>-\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{3}\right)$