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已知函数 $f(x)=\frac{1+\ln x}{a x}, a>0$ ．
（1）若 $f(x) \leqslant 1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）证明：若存在 $x_1, x_2$ ，使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ，则 $x_1^2+x_2^2>2$ ．
                        
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