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给定一个正三棱锥，记其侧面三角形的顶角为 $\alpha$ ，侧面与底面所成的锐二面角大小为 $\beta$ ．
（1）求 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足的关系式（可以用 $\alpha, \beta$ 的三角函数表示）；
（2）求证：该正三棱锥的侧面积与底面积之比为 $\sqrt{3} \cot \frac{\alpha}{2}$ ．
                        
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