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已知函数 $g(x)=1-\frac{1+\ln x}{x}$ ．
（1）求 $g(x)$ 的单调区间；
（2）当 $\frac{1}{ e } < m < n < 1$ 时，试证明 $\frac{n}{m} < \frac{1+\ln n}{1+\ln m}$ ．
                        
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