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如图，在菱形 $A B C D$ 中，$\angle D A B=45^{\circ}, A B=4$ ，点 $P$ 为线段 $A B$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P E \perp A B$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，沿 $P E$ 将 $\angle A$ 折叠，点 A 的对称点为点 $F$ ，连接 $E F, ~ D F, ~ C F$ ，当 $\triangle C D F$ 为等腰三角形时，$A P$ 的长为 $\qquad$
                        
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