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已知函数 $f(x)=x \ln x, g(x)=\frac{a\left(x^2-x\right)}{2}$ ．
（1）若 $f(x) < g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）求证：$\left[1+\frac{1}{(n+1)^2}\right]\left[1+\frac{2}{(n+1)^2}\right] L\left[1+\frac{n}{(n+1)^2}\right] < \sqrt{ e }$
                        
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