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已知函数 $f(x)=a x \ln x-x,(a \in R ))$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $x>1$ 时，$f(x)>-1$ ，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）对任意 $n \in N^*$ ，证明：$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{3}{4}}+ L +\sqrt{\frac{n}{n+1}}+\ln \sqrt{n+1}>n$ ．
                        
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