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已知函数 $f(x)=\frac{1-x}{a x}+\ln x$ ；
（1）若函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上为增函数，求正实数 $a$ 的取值范围；
（2）当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的最值；
（3）当 $a=1$ 时，对大于 1 的任意正整数 $n$ ，试比较 $\ln \frac{n}{n-1}$ 与 $\frac{1}{n}$ 的大小关系．
                        
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