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已知函数 $f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x(x>0)$ ．
（1）证明：$f(x) < e$ ；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性，并证明：当 $n \in N ^*$ 时，$(2 n+1) \ln (n+1) < n \ln n+(n+1) \ln (n+2)$ ．
                        
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