设 $F$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点，过点 $F$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点.
(1) 当 $\overrightarrow{B F}=2 \overrightarrow{F A}$ 时, 求 $|\overrightarrow{F A}|$;
(2) 在 $x$ 轴上是否存在异于 $F$ 的定点 $Q$, 使 $\frac{k_{Q A}}{k_{Q B}}$ 为定值 (其中 $k_{Q A}, k_{Q B}$ 分别为直线 $Q A, Q B$ 的斜率)? 若 存在, 求出 $Q$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.