笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，$\triangle D O E$ 的直角顶点 $O$ 在边 $B C$ 的中点处，其中 $\angle A=\angle D O E=90^{\circ}, \angle B=45^{\circ}, \angle D=60^{\circ}, \triangle D O E$ 绕点 $O$ 自由旋转，且 $O D, O E$ 分别交 $A B, A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，当 $A N=4, N C=2$ 时，$M N$ 的长为 $\qquad$ ．
