已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 上、顶点分 别为 $M, N, \triangle N F_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 四边形 $M F_2 N F_1$ 的四条边的平方和为 16 .
(1)求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 若 $a>b>1$, 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, 且线段 $A B$ 的中点 $H$ 在直线 $x=$ $\frac{1}{2}$ 上, 求证: 线段 $A B$ 的垂直平分线与圆 $x^2+y^2=\frac{1}{4}$ 恒有两个交点.