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设函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且满足方程 $f(t)= e ^{4 \pi t^2}+\iint_{x^2+y^2 \leq 4 t^2} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\right) d x d y$ ，求 $f(t)$ ．
                        
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