已知函数 $f(x)=\sin \omega x+a \cos \omega x$ ，周期 $T < 2 \pi, f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$ ，且在 $x=\frac{\pi}{6}$ 处取得最大值，则使得不等式 $\lambda|\omega| \geq a$ 恒成立的实数 $\lambda$ 的最小值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{10}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{11}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{12}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{13}$