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已知函数 $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{3} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)(\omega>0)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 上的值域为 $\left[\frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right]$ ，则 $\cos \frac{\pi \omega}{3}$ 的取值范围为
                        
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