综合与实践
综合与实践课上, 老师让同学们以 “矩形的折叠” 为主题开展数学活 动.
(1) 操作判断
操作一: 对折矩形纸片 $\mathbf{A B C D}$, 使 $\mathbf{A D}$ 与 $\mathbf{B C}$ 重合, 得到折痕 $\mathbf{E F}$, 把纸片展平;
操作二: 在 $A D$ 上选一点 $P$, 沿 $B P$ 折叠, 使点 $A$ 落在矩形内部点 $M$ 处, 把纸片展平, 连接 PM, BM.
根据以上操作, 当点 $M$ 在 $E F$ 上时, 写出图 1 中一个 $30^{\circ}$ 的角:
(2) 迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片, 继续探究, 过程如下: 将正方形纸片 $\mathbf{A B C D}$ 按照 (I) 中的方式操作, 并延长 $\mathbf{P M}$ 交 $\mathrm{CD}$ 于 点 $Q$, 连接 $B Q$.
(1)如图 2, 当点 $\mathrm{M}$ 在 $\mathbf{E F}$ 上时, $\angle \mathrm{MBQ}=\quad, \angle \mathrm{CBQ}=$
(2)改变点 $P$ 在 $\mathbf{A D}$ 上的位置 (点 $\mathbf{P}$ 不与点 $\mathbf{A}, \mathbf{D}$ 重合), 如图 3, 判 断 $\angle \mathrm{MBQ}$ 与 $\angle \mathrm{CBQ}$ 的数量关系, 并说明理由.
(3) 拓展应用
在 (2) 的探究中, 已知正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 $8 \mathrm{~cm}$, 当 $F Q=1 \mathrm{~cm}$ 时, 直接写出 $\mathbf{A P}$ 的长.
综合与实践课上, 老师让同学们以 “矩形的折叠” 为主题开展数学活 动.
(1) 操作判断
操作一: 对折矩形纸片 $\mathbf{A B C D}$, 使 $\mathbf{A D}$ 与 $\mathbf{B C}$ 重合, 得到折痕 $\mathbf{E F}$, 把纸片展平;
操作二: 在 $A D$ 上选一点 $P$, 沿 $B P$ 折叠, 使点 $A$ 落在矩形内部点 $M$ 处, 把纸片展平, 连接 PM, BM.
根据以上操作, 当点 $M$ 在 $E F$ 上时, 写出图 1 中一个 $30^{\circ}$ 的角:
(2) 迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片, 继续探究, 过程如下: 将正方形纸片 $\mathbf{A B C D}$ 按照 (I) 中的方式操作, 并延长 $\mathbf{P M}$ 交 $\mathrm{CD}$ 于 点 $Q$, 连接 $B Q$.
(1)如图 2, 当点 $\mathrm{M}$ 在 $\mathbf{E F}$ 上时, $\angle \mathrm{MBQ}=\quad, \angle \mathrm{CBQ}=$
(2)改变点 $P$ 在 $\mathbf{A D}$ 上的位置 (点 $\mathbf{P}$ 不与点 $\mathbf{A}, \mathbf{D}$ 重合), 如图 3, 判 断 $\angle \mathrm{MBQ}$ 与 $\angle \mathrm{CBQ}$ 的数量关系, 并说明理由.
(3) 拓展应用
在 (2) 的探究中, 已知正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 $8 \mathrm{~cm}$, 当 $F Q=1 \mathrm{~cm}$ 时, 直接写出 $\mathbf{A P}$ 的长.