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设函数 $f(x)=x\left[\frac{1}{x}\right](x>0)$, 其中 $\left[\frac{1}{x}\right]$ 表示不超过 $\frac{1}{x}$ 的最大整数, 则( )
A. $f(x)$ 连续     B. $f(x)$ 只有有限个第二类间断点     C. $f(x)$ 只有无限个跳跃间断点     D. $f(x)$ 只有无限个可去间断点         
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